МКОУ СОШ с.Непа - Гонская О.В.-Решение олимпиадных задач

Решение олимпиадных задач

Принцип узких мест

Решать нестандартную задачу — все равно, что идти через дикий лес. Можно, конечно, выбирать дорогу наугад, но, тогда скорее всего будешь попадать то в непроходимую чащу, то в болото. Придется ходить туда-сюда, но даже если повезет и пройдешь куда надо, то зря потратишь много времени и сил. Гораздо легче идти, если есть хоть какой-то ориентир. Скажем, забрался на горку и увидел, что надо обязательно перейти реку, а брод только во-о-о-н там. Это, конечно, уменьшает свободу выбора пути, но зато избавляет от ненужных блужданий.

Вот и в задачах, где строят и исследуют конструкции, зацепкой к решению часто служит та часть конструкции, где свобода выбора — наименьшая. Именно это мы и назовем узким местом. Ясно, что от узкого места быстрее дойти до противоречия или легче построить заметный кусок возможной конструкции.

Давайте посмотрим, где можно выявить узкие места и использовать их для решения задач. Наряду с интуицией на помощь приходят известные приемы решения задач: соображения непрерывности, принцип крайнего, раскраска, принцип Дирихле, аналогия, инвариант, минимальный контрпример. Чтобы подчеркнуть особенности каждого из приемов для поиска узких мест, мы сгруппируем задачи по небольшим главам.

Изложение ведется в основном путем разбора задач, называемых примерами. А вот упражнения и задачи остаются читателю для самостоятельного решения.

Самая главная идея: поглядеть на задачу «сверху». Если удастся понять, где нам будет всего труднее, то начать нужно именно с попытки преодоления этой трудности.

Пример 1. Можно ли разрезать какой-нибудь прямоугольник на равнобедренные треугольники с углом 40° при основании?

Анализ и решение. Узким местом, очевидно, будет угол прямоугольника. Его надо сложить из углов треугольников. Однако есть только углы в 40° (при основании) и 100° (при вершине треугольника). Из них прямой угол не сложишь. Значит, и весь прямоугольник на такие треугольники разрезать нельзя.

Если узкое место не находится в требуемой задачей конструкции, стоит поискать его в конструкции нашего подхода к задаче. Говоря образно, если не видно узкого места в лесу, то мы смотрим не с той горки (дерева) или не в ту сторону. Для начала надо будет поискать лучший обзор: вот при решении такой предварительной задачи и может возникнуть узкое место.

Пример 2. Несколько ученых переехали из страны А в страну В. Мог ли в результате средний IQ (коэффициент интеллекта) в обеих странах увеличиться?

Анализ и решение. На первый взгляд — нет, ведь «если в одно месте прибыло, то в другом должно убыть». Но это касается только суммы, среднее ведет себя хитрее. Узкое место: понять, как оно себя ведет. Достаточно, впрочем, заметить, что повысить средний IQ в стране В можно, принимая ученых с IQ выше среднего. И наоборот, чтобы повысить средний IQ в стране А, надо избавляться от людей с IQ ниже среднего! Такое возможно, если средний IQ вА выше среднего и В: организуем переезд ученых с IQ из зазора между средними.

Попробуйте ответить на более хитрый вопрос.

Задача 1. Возможно ли повышение IQ в обеих странах, если там нет ни одного человека, чей IQ попадал бы в зазор между средними IQ в этих странах?

Если конструкций много, то полезно поискать общее узкое место. Это может сработать не только при доказательстве невозможности, но и при построении способа. Классический пример: для противодействия всем планам вторжения — взрываем все мосты!

Пример 3. На бесконечном листе клетчатой бумаги играют двое, ходят по очереди. Своим ходом можно выбрать любую незакрашенную сторону клетки и покрасить ее в любой цвет (число цветов неограниченно). Первый выиграет, если после его хода образуется замкнутая ломаная, где все звенья окрашены в разные цвета. Может ли второй ему помешать?

Анализ и решение. Ломаных бесконечно много, и задача второго «испортить все» кажется нереальной, тем более что любое звено можно обойти. Однако ложка дегтя портит бочку меда. Присмотримся: нет ли у всех ломаных общего свойства, которое можно было бы объявить узким местом? Ну, поворачивать они все должны, чтобы замкнуться... Ага, повороты могут быть разные, но среди них обязательно найдется поворот в виде буквы Г (речь, конечно, идет о паре соседних звеньев: одно выходит из общей вершины вправо, другое — вниз. А еще бывают L,-повороты и два поворота, для которых букв нет, а именно, пары вверх-влево и вниз-влево). Вот вам и узкое место! Испортим все Г-повороты: разобьем все звенья на Г-пары, и как только первый закрасит одну половинку пары, второй должен покрасить вторую половинку в тот же цвет.

Задача 2. Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?

Задача 3. На бесконечной клетчатой доске двое играют в крестики-нолики по обычным правилам: выигрывает тот, кто первым выстроит 5 своих знаков в ряд по вертикали или горизонтали (ряд по диагонали не считается). Докажите, что второй может гарантировать себе как минимум ничью.

Засада на переправе (непрерывность обычная и дискретная)

Если объекты или ситуации задачи можно разделить на две категории («два берега») и если путь начинается на одном берегу, а заканчивается на другом, то неизбежно придется переправляться. Часто именно это оказывается узким местом. Надо только убедиться, что не удастся переправиться, не замочив ног. В частности, если некоторая величина принимает целочисленные значения, изменяется на каждом шаге не более чем на 1 и в процессе меняет знак, то она обязательно проходит через 0. Такая величина называется дискретной, а прием решения — дискретной непрерывностью. Здесь положительные значения — один берег, отрицательные — другой, значение 0 — речка. Решение задачи этим методом сводится к нахождению подходящей дискретной величины (подходящей в том смысле, что прохождение через 0 дает то, что требуется) и проверке, что путь проходит через точки обоих берегов.

Пример 4. Журнал «Юный хакер» выходит нерегулярно — всего два или три номера в год. На обложке стоит номер журнала и год выпуска: № 1 — 2005, № 2 — 2005, № 3 — 2006, ... Докажите, что если редакцию не закроют, то рано или поздно выйдет номер, где два числа на обложке совпадут.

Анализ. Процесс очевиден: выход журнала. Берега тоже: один — номера журнала, меньшие года выхода, другой — большие. За дискретную величину естественно взять разность номера журнала и года выхода: разность 0 доказывает утверждение. Ясно, что разность меняется на 1 в моменты выхода журнала или смены года. Ясно также, что сейчас она отрицательна, а лет через 1000 с хвостиком станет положительной. Значит, момент равенства года и номера все-таки наступит.

В предыдущем примере у нас изначально были две величины, и естественно было делить на берега так: на одном первая больше, на другом — вторая. Чаще, однако, такие величины приходится вводить самим: в этом и состоит искусство! Разумеется, если величина нецелочисленная, но изменяется непрерывно между двумя значениями, она обязана принять и все промежуточные значения.

Пример 5. В противоположных углах квадратного пруда со стороной 100 м сидели два гуся. Поплавав по пруду, они оказались в двух других противоположных углах. Докажите, что в некоторый момент расстояние между кончиками их клювов было ровно 110 м.

Анализ. Естественно разделить все расположения пары гусей на два «берега»: когда расстояние между ними больше 100 м и когда меньше. Начальное расстояние — это примерно диагональ квадрата, оно явно больше 110 м. Правда, и конечное расстояние больше 110 м. Однако переплывая в другие углы, гусям придется приблизиться друг к другу. Попробуем поймать момент, когда они будут ближе 110 м друг к другу. Узкое место — ширина пруда (от стороны до стороны): когда гуси напротив друг друга, расстояние между ними не больше ширины.

Решение. Пусть гуси изначально сидели в углах А и С квадрата АВС.О, а в конце концов оказались в углах В та О соответственно. Вначале один гусь был ближе к стороне ВС, а в конце — другой. Значит, был момент, когда расстояния до ВС были одинаковы. В этот момент отрезок, соединяющий их носы, был параллелен стороне ВС, его длина была меньше ВС и меньше 110 м. А в начальный момент расстояние это было больше 110 м. По непрерывности между этими моментами был момент, когда расстояние было равно 110 м.

В предыдущем примере нам самим пришлось «строить берега». Бывает и наоборот: «берега» есть, а процесса нет. Тогда его надо организовать, причем так, чтобы «на переправе» был достигнут нужный эффект.

Пример 6. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся точки разного цвета на расстоянии 1.

Анализ. Берега очевидны: цвета. Организуем процесс перехода с одного берега на другой. Можно пройти между точками разного цвета по прямой или по непрерывной кривой, цвет сменится, но как обеспечить расстояние 1? Идея: будем идти шагами длины 1.

Решение. Выберем две точки А и В разного цвета и пройдем из А в В шагами длины 1. Это можно сделать, например, идя от А к В по прямой с шагом 1. Если же для последнего шага останется отрезок СВ, короче 1, то построим равнобедренный треугольник СОВ со сторонами СО = ВВ = 1 и сделаем вместо шага С В два шага: СО и ОБ. Проследим за цветом точек, по которым шагаем. На каком-то шаге цвет сменится? Начало и конец шага и дадут искомые точки.

Зная, что узким местом конструкции является переправа, будем доказывать ее неизбежность — при доказательстве невозможности. Наоборот, при построении примера нужно так строить берега, чтоб они не соприкасались и переправ не возникало.

Пример 7. Можно ли расставить в таблице 8x8 числа от 1 до 64 так, чтобы ни в какой паре клеток с общей стороной или вершиной сумма не делилась: а) на 3; б) на 4?

Анализ. Ясно, что можно заменить все числа на остатки по соответствующему модулю. То есть в (а) можно расставлять О, 1 и 2 (причем единиц на одну больше, чем нулей или двоек), а в (б) — О, 1, 2 и 3 (всех поровну).

Решение, а) Надо избегать ставить нули рядом, их придется разбросать изолированными «озерками», окруженными единицами и двойками. Можно ли избежать соприкосновения единицы и двойки? Нет: «берег единиц» сомкнется с «берегом двоек», так как «речку» из нулей между ними построить нельзя...

б) Нельзя ставить нули рядом с нулями и двойки рядом с двойками. Расположим их изолированными «озерками». Остаются единицы и тройки. Можно ли их отделить друг от друга? Да, ибо теперь мы можем построить «речку», чередуя нули и двойки.

Задача 4. На доске 4x4 расставляются 16 шахматных коней четырех мастей — вороные, соловые, гнедые и каурые. Существует ли такая расстановка коней, в которой вороные не бьют соловых, соловые — гнедых, гнедые — каурых, а каурые — вороных?

Задача 5. Найдутся ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 5 простых чисел?

Задача 6. Есть несколько кусков сыра разного веса и разной цены за килограмм. Докажите, что можно разрезать не более двух кусков так, что после этого можно будет разложить все куски на кучки одинакового веса и одинаковой стоимости.

Узкие места — в первую очередь (принцип крайнего)

Принцип крайнего советует обратить внимание в первую очередь на объекты «с краю», где край понимается в геометрическом или арифметическом (максимум, минимум) смысле. Узкое место является крайним в том смысле, что там степень свободы — наименьшая. Оно вполне может в геометрическом или каком-то другом естественном смысле оказаться посередине. В этом случае бездумное применение принципа крайнего к успеху не приведет. Более подробно см. в [6].

Подсчет узких мест (раскраска и принцип Дирихле)

Сколько пассажиров может перевезти поезд — зависит от числа мест. А как быстро пассажиры смогут высадиться — зависит от числа дверей. Точно так же и в задаче можно получить искомую оценку, выделив узкие места и подсчитав их количество.

Пример 8. Дан правильный треугольник. Каким наименьшим числом меньших правильных треугольников его можно покрыть?

Анализ. Накрыв почти весь треугольник чуть меньшим, мы быстро обнаружим, что оставшуюся узенькую полоску или даже просто сторону исходного треугольникам одним меньшим треугольником накрыть нельзя. Итак, стороны — узкое место, но для подсчета они не годятся: ведь можно накрывать стороны и по частям. Заметим, однако, что мы не можем накрыть оба конца стороны (то есть две вершины) одновременно. Вот оно — узкое место!

Решение. Каждый меньший треугольник может накрыть максимум одну из вершин исходного, поэтому понадобится не менее трех треугольников. Пример с накрытием тремя треугольниками легко строится.

В примере выше вершины уже сами по себе стояли особняком. Если таких явно выделенных объектов нет, бывает удобно самим выделить часть из группы однородных объектов — например, покрасить часть клеток доски.

Пример 9. Докажите, что 11 коней не могут побить все оставшиеся поля шахматной доски.

Решение. Закрасим на доске 12 полей (см. рисунок). Никакие два из этих полей не могут быть побиты одним конем. Значит, чтобы побить даже только раскрашенные поля, понадобится минимум 12 коней.

Комментарий к решению. Идея выделить 12 полей так, чтобы никакие два не «бились» одним конем, — достаточно типовая. Заметив, что 12 кратно 4, естественно попытаться использовать симметрию доски. Тройки закрашенных полей естественно попытаться рассовать по углам подальше друг от друга.

Информацию о количестве (а еще лучше — о расположении) узких мест можно и нужно использовать и при построении примера. В частности, этот прием встречается в задачах типа «оценка + пример».

Пример 10. Какое наименьшее число коней может побить все поля шахматной доски? (Считаем, что поле под собой конь тоже бьет.)

Указания. Попробуйте, воспользовавшись результатом и раскраской из предыдущего примера, построить требуемую расстановку из 12 коней. При этом надо обязательно побить все покрашенные поля, одновременно стараясь побить максимум из еще не побитых полей. Практично расставлять коней тройками и использовать симметрию: тогда достаточно убедиться, что побиты поля одного из угловых квадратов 4x4. Не стоит только пытаться побить весь угловой

квадрат стоящими в нем конями, можно и нужно применять «помощь извне».

Число выделенных мест может использоваться не только для оценки сверху или снизу. Бывает полезно рассмотреть его с другой точки зрения. Например, проверить на делимость.

Пример 11. Можно ли в клетчатой таблице 13 х 13 отметить некоторые клетки так, чтобы любая клетка (как отмеченная, так и неотмеченная) граничила ровно с одной из отмеченных клеток?

Анализ и набросок двух решений. Будем считать, что отмеченная клетка — это фишка, которая бьет соседние по стороне клетки. Наща задача — побить все клетки ровно по разу. Раскрасим таблицу в шахматном порядке так, чтобы угловые клетки были черными. Заметим, что фишка с черного поля бьет белые клетки, и наоборот. Поэтому задача побить все клетки по разу распадается на две независимые: побить все белые и побить все черные.

Попробуем сначала побить все черные. Начнем с угла (узкое место!). Угловая клетка бьется, с точностью до симметрии, однозначно. Далее у нас всегда находится непобитая черная клетка, которую можно побить всего одним способом (иначе какая-то клетка будет побита дважды). Расстановка фишек продвигается однозначно, пока мы не зайдем в тупик, пытаясь побить третий угол.

В принципе, это уже можно оформлять как решение, хотя безукоризненно изложить весь перебор непросто. Нельзя ли упростить? Можно, если выделить не все черные клетки, а множество поменьше. Какое? А то, на котором возникает противоречие. Где лежат углы? На диагонали... Присмотримся: клетки диагонали всегда бьются парами. А так как всего на диагонали 13 клеток — нечетное число, то все клетки диагонали ровно по разу побить нельзя! Значит, нельзя ровно по разу побить и всю доску.

Задача 7. На какое наибольшее число натуральных слагаемых можно разложить число 99 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты?

Задача 8. Можно ли разрезать квадрат на 1000-угольник и 199 пятиугольников?

Задача 9. Можно ли расставить натуральные числа в клетках таблицы 4x4 так, чтобы в каждой паре соседних клеток (имеющих хотя бы одну общую вершину) одно из чисел делилось на другое, а в каждой паре несоседних клеток такого не было?

Посоветуйся с соседями (частный случай и аналогия)

Узкое место можно обнаружить, решив более легкую похожую задачу. Чаще всего подойдет либо частный случай нашей задачи, либо эта же задача, но со слегка измененными числами. Важно заметить, что узкое место может остаться тем же самым, даже когда ответ меняется на противоположный!

Пример 12. 20 детей разбили на пары мальчик-девочка так, что в каждой паре мальчик оказался выше девочки. После этого их разбили на пары мальчик-девочка по-другому. Может ли теперь оказаться, что в девяти парах из десяти девочка выше мальчика?

Анализ и решение. Поставим вопрос иначе: а может ли во всех новых парах девочка оказаться выше мальчика? Ясно, что нет: самый высокий мальчик (обозначим его М₁) просто выше всех, потому что он не ниже обоих участников любой старой пары. Хорошо, а второй по высоте мальчик М₂? Он выше всех девочек, кроме, быть может, Д₁₍ которая в старой паре была с М₁. Чтобы построить нужный пример, придется в новой паре поставить М₂ с Д₁ Точно так же, третьего по высоте мальчика М₃ придется поставить с девочкой Д₂ (раньше она была в паре с М₂). Дальше ясно: возьмем

в старых парах М и Д с одинаковым номером, в новых Д₁ > М₂ Д₂, > М₃, ..., Д₉ > М₁₀, и только Д₁₀ < М_1.

Конечно же, чаще узкое место более простого варианта задачи служит лишь подспорьем для поиска узких мест сложного варианта.

Пример 13. В строке записано 13 чисел. Известно, что сумма любых трех подряд положительна. Может ли сумма всех быть отрицательна?

Анализ и решение. Про 13 сразу неясно, а вот 12 чисел можно было бы разбить на четыре тройки, поэтому сумма точно была бы положительной. Увы, 13 на 3 не делится, а дает в остатке 1. Это, однако, позволяет выявить узкое место: если пример все-таки есть, а сумма первых 12 положительна, то 13-е число должно быть отрицательным. Отрезая «тройки» справа, видим, что и 1-е число отрицательно. Если же резать на тройки, оставляя дырку в середине, то видим, что отрицательными должны быть также 4, 7 и 10-е числа. Пора попробовать строить пример. Расчеты проще, если разных чисел меньше. Пусть на указанных выше номерах все числа равны -х, а на остальных +у (х > 0, у > 0). Тогда сумма любых трех подряд равна 2у - х, а сумма всех равна 8у - 5х. Из неравенств 2у - х > О и 8у - 5х < 0 следует, что 1,6у < х < 2у. Взяв х = 9, у = 5, получим искомый пример.

Упражнение 10. По кругу записано 100 чисел. Известно, что сумма любых трех подряд положительна. Может ли сумма всех быть отрицательна?

Задача 11. Какое наименьшее число слонов может побить все поля шахматной доски? (Считаем, что поле под собой слон тоже бьет.)

Задача 12. Можно ли разрезать какой-нибудь прямоугольник:

а) на равнобедренные треугольники с углом 75° при основании;

б) на подобные равнобедренные непрямоугольные треугольники?

Путешествуя по Советскому Союзу, иностранец упал в строительную яму.

Ругается: «У нас, мол, опасные места принято красными флажками огораживать».

Рабочий: «А ты что, пересекая границу, красных флагов не видел, что ли?»

Несвобода конструкции может быть в некотором свойстве целого, которого нет у частей. При попытке построения примера это обнаруживается в том, что «не сходится» только в самый последний момент. Типичные примеры такой несвободы дает инвариант, то есть что-то (число, свойство) у конструкции, полученной разрешенными действиями. Типичные инварианты: четность, делимость на какое-то число, остаток по какому-то модулю, произведение или сумма всех чисел или остатков, периметр, площадь и т.п. Если разрешенные действия всегда дают одно значение инварианта, то конструкцию с другим значением получить невозможно. Например, нельзя доехать на поезде от Москвы до Нью-Йорка, поскольку поезд всегда остается на нашем континенте.

Пример 14. Можно ли в прямоугольную таблицу поставить числа так, чтобы в каждом столбце сумма была положительна, а в каждой строке — отрицательна?

Анализ и решение. Где могут столкнуться между собой указанные свойства? Ясно, что в сумме всех чисел таблицы. Именно эта сумма является узким местом: в первом случае она складывается из сумм столбцов и потому положительна; во-втором — из сумм строк, значит, отрицательна. Противоречие.

Конечно, не все инварианты столь прозрачны, как в предыдущей задаче. Часто, даже понимая, что надо искать инвариант, приходится потрудиться. А следующую задачу решить нелегко, даже зная, что в геометрических задачах часто инвариантом служит рациональность или иррациональность длин и площадей.

Пример 15. Найдется ли равносторонний треугольник с вершинами в узлах целочисленной решетки?

Анализ и решение. Изучим сперва произвольный треугольник с вершинами в узлах сетки. Длины его сторон по теореме Пифагора имеют вид

, где m, n — целые числа. Такой корень может быть как рациональным, так и иррациональным числом. Площадь, однако, число рациональное, поскольку ее можно получить, отнимая от площади прямоугольника со сторонами по сетке площади прямоугольных треугольников с катетами по сетке. (Более того, из этого следует что площадь треугольника будет целым или полуцелым числом.) Это, безусловно, узкое место таких треугольников. А что же с правильным треугольником? Согласно предыдущему, длина его стороны а =, где k – натуральное.

Но тогда площадь S =

число безусловно иррациональное. Противоречие. Значит, такого равностороннего треугольника нет.

До сих пор мы использовали инвариант для доказательства невозможности. Но, как и другие узкие места, он вполне может оказаться полезен и для поиска оптимальной конструкции.

Пример 16. В банке 500 долларов. Разрешаются две операции: взять из банка 300 долларов или положить в него 198 долларов. Эти операции можно проводить много раз, при этом, однако, никаких денег, кроме тех, что первоначально лежат в банке, нет. Какую максимальную сумму можно извлечь из банка и как это сделать?

Анализ и решение. Поэкспериментируем: если на счету денег достаточно, будем снимать разрешенные 300, если нет — то класть 198 обратно (это возможно, так как если на счету меньше

300, то на руках больше 200). Проследим за суммами на руках: 300, 102, 402, 204, 6, 306, 108, 408, 210, 12, .... Заметим, что все эти числа делятся на 6. Причина, впрочем, понятна: и 300, и 198 делятся на 6, значит, каждый взнос или снятие денег это свойство сохраняет. Это и есть узкое место, из-за которого мы все деньги снять не можем, ведь 500 на 6 не делится. Ближайшее к 500 кратное 6 число — это 498. Но можем ли мы снять столько? Самое простое — продолжить вышеуказанный «жадный» алгоритм: «дают — бери, а нет — клади». Он приведет нас к успеху, хотя и придется сделать довольно много шагов. Более остроумно — попытаться применить серию шагов «увеличь на 6», с помощью которой мы из 402 сделали 408: дважды кладем, снимаем, кладем, снимаем. Если на руках было а долларов, то станет последовательно а -198, а - 396, а - 96, а - 294, а + 6. Такая цепочка возможна, когда а - 396 ≥ 0 и а + 6 ≤ 500, то есть при 396 ≤ а ≤ 494. Шагая таким образом по 6, мы и доведем сумму на руках с 408 до 498.

Задача 13. На Луне имеют хождение монеты достоинством в 1, 15 и 50 фертингов. Незнайка отдал за покупку несколько монет и получил сдачу на одну монету больше. Какую наименьшую сумму могла стоить покупка?

Задача 14. В левом нижнем углу шахматной доски стоят три помеченные буквами ладьи (см. рис.). Разрешается делать ходы по обычным правилам, однако после любого хода каждая ладья должна быть под защитой какой-нибудь другой ладьи. Можно ли за несколько ходов переставить эти ладьи в правый верхний угол так, чтобы каждая попала на поле со своей буквой?

Задача 15. Можно ли разрезать квадрат на равные прямоугольные треугольники с углом 30°?